Probabilités - STI2D/STL

Loi de probabilité et variable aléatoire

Exercice 1 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (deux tirages avec remise)

On lance deux fois un dé équilibré à six faces. À chaque lancer, on perd 4 € si le résultat est un nombre impair, on gagne 8 € si le résultat est un 2, et on gagne 2 € dans les autres cas.
On appelle \( G \) la variable aléatoire égale au gain algébrique en euro obtenu en fin de partie.

Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \( G \).
On donnera la liste séparée par des point-virgules. S'il n'y en a aucun, écrire Aucun.

Donner la loi de probabilité de \( G \) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

Exercice 2 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
15% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 35% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :

3% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
5% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
8% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.

On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :

\( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
\( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
\( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
\( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_1) \).

Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_1 \) ?

Compléter l’arbre de probabilités donné.

Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_1 \) et est défectueux »

Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 3 : Retrouver une loi aléatoire à partir d'une simulation Python

La fonction simul définie en Python simule une loi de probabilité \( X \), en utilisant une fonction randint qui prend deux entiers \( a\text{, }b \) en paramètres et renvoie un entier aléatoire \( r \) tel que \( a \le r \le b \) .

from random import randint
def simul():
     alea = randint(1, 50)
     if alea <= 13:
          return -3
     if alea >= 17:
          return 1
     return 2

Donner la loi de probabilité de \( X \) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

Quelle est l'espérance de cette loi de probabilité ?
On donnera la réponse sous la forme d'un entier ou d'une fraction simplifiée.

Exercice 4 : Probabilités - Création d'un tableau à double entrée

Une enquête est réalisée auprès de 2000 familles.
Lors de cette enquête, 90.0 % des familles déclarent ne pas posséder de télévision, 20.0 % des familles déclarent posséder une voiture et 10.0 % possèdent uniquement une voiture.
Remplir le tableau d'effectifs.

Exercice 5 : Probabilités - Création d'un tableau à double entrée - simple

Lors d'une enquête sur la pratique du sport, on a demandé à 800 personnes si elles pratiquaient le tennis et/ou la natation. 229 personnes pratiquent le tennis, 341 personnes la natation et 206 personnes pratiquent les deux sports. Remplir le tableau d'effectifs.

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